Chương 2. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT

Tóm tắt chương

Bài 1. Phép thử, biến cố và quan hệ các biến cố́

1.1. Định nghĩa phép thử, khái niệm biến cố ngẫu nhiên:

Hiện tượng ngẫu nhiên là những hiện tượng có thể xuất hiện nhưng cũng có thể không xuất hiện khi một số điều kiện cơ bản gây nên hiện tượng đó được thực hiện.

Các hiện tượng ngẫu nhiên là đối tượng nghiên cứu của xác suất. Lí thuyết xác suất nghiên cứu tính quy luật của các hiện tượng đó để có thể dự báo kết quả của chúng.

Khái niệm về phép thử ngẫu nhiên, biến cố ngẫu nhiên được hiểu như sau: Một nhóm các điều kiện nào đó ( có thể lặp đi lặp lại vô số lần) được thực hiện thì ta nói có một phép thử ngẫu nhiên được thực hiện. Để cho gọn, ta nói là phép thử thay cho phép thử ngẫu nhiên.

Mỗi sự kiện có tính chất xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một phép thử   được gọi là một biến cố ngẫu nhiên hay còn gọi là biến cố. Ta dùng các chữ cái A, B, C,…để kí hiệu các biến cố.

Biến cố không bao giờ xảy ra khi phép thử được thực hiện gọi là biến cố rỗng, kí hiệu là . Biến cố chắc chắn sẽ xảy ra khi một phép thử được thực hiện gọi là biến cố chắc chắn, kí hiệu là .

1.2. Quan hệ giữa các biến cố

Định nghĩa 1.1: Cho A và B là hai biến cố của cùng một phép thử.

Ta nói rằng:

a) Biến cố A thuận lợi ( hay kéo theo) đối với biến cố B, kí hiệu là AB, nếu trong phép thử đó biến cố A xuất hiện thì biến cố B cũng xuất hiện.

b) Biến cố A đồng nhất ( hay bằng) biến cố B, kí hiệu A=B, nếu đồng thời A thuận lợi đối với B và B cũng thuận lợi đối với A.

c) A và B là hai biến cố xung khắc nếu chúng không thể đồng thời xuất hiện trong một phép thử.

d) A là biến cố đối lập với biến cố B, kí hiệu là , nếu A xuất hiện khi và chỉ khi B không xuất hiện.

e) A và B là hai biến cố đồng khả năng nếu trong phép thử đó không có biến cố nào được ưu tiên xuất hiện hơn biến cố kia.

1.3. Các phép toán trên các biến cố:

Định nghĩa 1.2: Cho A và B là hai biến cố của một phép thử. Ta gọi:

a) Hợp của hai biến cố A và B là một biến cố H, kí hiệu H=AB, xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra .

Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì ta viết A+B thay cho AB và gọi là tổng trực tiếp ( hay tổng) của hai biến cố đó.

b) Giao ( hay tích) của hai biến cố A và B là biến cố G, kí hiệu là G=AB hay G=A.B, xảy ra  khi và chỉ khi đồng thời cả hai biến cố A và B cùng xảy ra .

c) Hiệu của hai biến cố A và B là biến cố M, ký hiệu M=A\B, xảy ra khi và chỉ khi biến cố A xảy ra và B không xảy ra.

Các phép toán trên biến cố tương tự như các phép toán trên tập hợp, vì có thể xem biến cố là 1 tập hợp.

Định nghĩa 1.3: Biến cố A gọi là biến cố sơ cấp (hay cơ bản), nếu  thì A=B hoặc A=C.

Định nghĩa 1.4: Cho B₁,B₂,…,B_n là các biến cố của một phép thử. Ta nói rằng họ n biến cố trên thành lập hệ đầy đủ các biến cố của phép thử đó, nếu:

i) Chúng đôi một xung khắc với nhau, tức là ;

ii).

Nếu các biến cố B_k ( k=1, 2, …, n) đều là các biến cố sơ cấp thì ta nói họ n biến cố đó gọi là không gian các biến cố sơ cấp.

Định nghĩa 1.5:  Tập hợp tất cả các biến cố đôi một ( xung khắc) có thể xảy ra của một phép thử gọi là không gian mẫu. Ký hiệu: . Không gian các biến cố sơ cấp cũng là một không gian mẫu.

Bài 2. Định nghĩa xác suất và các tính chất

2.1 Định nghĩa xác suất theo dạng cổ điển:

Định nghĩa 2.1: ( định nghĩa xác suất cổ điển)

Cho  là hệ đầy đủ các biến cố đồng khả năng của một phép thử và A là biến cố trong phép thử đó. Giả sử trong hệ trên có k biến cố thuận lợi đối với A, tức là:

Ta gọi tỉ số  là xác suất của biến cố A.

Ta có thể viết lại định nghĩa 2.1 như sau:

2.2 Định nghĩa xác suất theo dạng thống kê

Định nghĩa 2.2:  Nếu số phép thử n càng lớn,  tần suất m/n của biến cố A càng tiến về số cố định p thì ta nói A ổn định ngẫu nhiên và gọi p là xác suất của biến cố A.

2.3 Tính chất:

Tính chất 1: .

Tính chất 2:

Tính chất 3:

Tính chất 4: .

Bài 3. Xác suất có điều kiện, sự độc lập các biến cố́

3.1 Xác suất điều kiện:

Định nghĩa 3.1: Ta gọi xác suất có điều kiện, ký hiệu P(A/B) của biến cố A trong điều kiện biến cố B đã xuất hiện là tỉ số:

3.2 Công thức xác suất tích:

Đối với hai biến cố A và B bất kì (của cùng một phép thử) ta có công thức xác suất tích:

            .                  (3.2)     

3.3 Công thức xác suất toàn phần, công thức Bayès:

Giả sử A₁, A₂,…, A_n là hệ đầy đủ các biến cố của một phép thử và B là một biến cố trong phép thử đó. Khi đó:

a) công thức xác suất toàn phần:

 P(B)=P(B/A­₁)P(A₁)+P(B/A₂)P(A₂)+…+P(B/A_n)P(A_n)       (3.3)

( được gọi là đầy đủ).

b) công thức Bayès:               (3.4)

3.4 Sự độc lập các biến cố:

Định nghĩa 3.2

Với A và B là hai biến cố của phép thử. Ta nói rằng hai biến cố A và B là độc lập với nhau, nếu:

Nhận xét 3.2:  

Về mặt định tính có thể nói rằng hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra ( hay không xảy ra ) của biến cố  A không ảnh hưởng đến sự xảy ra (hay không ) biến cố B.

Nhận xét 3.3:

Từ công thức xác suất tích , biến cố A và B được gọi là độc lập khi và chỉ khi  hoặc P(A/B)=P(A) hoặc P(B/A)=P(B).

Bài 4. Xác suất nhị thức

4.1 Dãy phép thử Bernoulli:

Định nghĩa 4.2 Ta gọidãy phép thử J₁, J₂,…,J_n là dãy phép thử Bécnuli, nếu các điều kiện sau đây được thoả mã:

(i)   J₁, J₂,…,J_n là dãy phép thử độc lập;

(ii)  Trong mỗi phép thử J_k chỉ có hai biến cố B hoặc  có thể xảy ra;

(iii) Xác suất để biến cố B xuất hiện trong mỗi phép thử không đổi và đều bằng p.

4.2 Công thức xác suất nhị thức:

Giả sử biến cố B trong phép thử J xuất hiện với xác suất P(B)=p. Khi lặp lại n lần phép thử đó một cách độc lập, xác suất để trong n lần đó có k lần xuất hiện biến cố B được xác định bởi công thức:

       ,với k=0,1,2,3,..,n.     (4.1)

Công thức trên gọi là công thức xác suất nhị thức, nói gọn là công thức Bernoulli.

4.3 Số có khả năng nhất:

Cách tìm giá trị số có khả năng nhất ( là số k ứng với xác suất P_n(k;p) đạt giá trị cực đại )  như sau:

+ Nếu np-q nguyên thì có 2 giá trị  k₀ =np-q và k₁ = np-q+1 để xác suất P_n(k) đạt cực đại ;

+ Nếu np-q không nguyên thì có 1 giá trị  k₀  = [np-q]+1 để xác suất P_n(k) đạt cực đại; trong đó ký hiệu [np-q] là chỉ phần giá trị nguyên của số np-q sau khi bỏ phần thập phân .