Chương 2. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT

Bài 1. Biến cố, phép thử và quan hệ biến cố

1.1  Định nghĩa phép thử, khái niệm biến cố ngẫu nhiên:

- Khi tung một đồng tiền, có thể xuất hiện mặt ngửa nhưng cũng có thể không xuất hiện mặt ngửa.

- Khi gieo một con xúc xắc, có thể xuất hiện mặt 6 chấm nhưng cũng có thể không xuất hiện mặt 6 chấm.

- Khi gieo một hạt ngô lấy từ trong kho giống, hạt ngô có thể nảy mầm nhưng cũng có thể không nảy mầm.

- Kiểm tra ngẫu nhiên một học sinh thì em đó có thể thuộc bài nhưng cũng có thể không thuộc bài.

Những hiện tượng trên gọi là hiện tượng ngẫu nhiên.

Vậy hiện tượng ngẫu nhiên là những hiện tượng có thể xuất hiện nhưng cũng có thể không xuất hiện khi một số điều kiện cơ bản gây nên hiện tượng đó được thực hiện.

Các hiện tượng ngẫu nhiên là đối tượng nghiên cứu của xác suất. Lí thuyết xác suất nghiên cứu tính quy luật của các hiện tượng đó để có thể dự báo kết quả của chúng.

Khái niệm về phép thử ngẫu nhiên, biến cố ngẫu nhiên được mô tả như sau:

- Gieo một con xúc xắc, xem như đã thực hiện một phép thử.

- Tung một đồng tiền, xem như đã thực hiện một phép thử.

- Gieo một hạt ngô xuống đất màu và theo dõi sự nảy mầm của nó, xem như đã thực hiện một phép thử.

- Kiểm tra một học sinh, ta cũng có một phép thử.

Vậy khi một nhóm các điều kiện nào đó ( có thể lặp đi lặp lại vô số lần) được thực hiện thì ta nói có một phép thử ngẫu nhiên được thực hiện. Để cho gọn, ta nói là phép thử thay cho phép thử ngẫu nhiên.

Mỗi sự kiện có tính chất xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một phép thử   được gọi là một biến cố ngẫu nhiên hay còn gọi là biến cố. Ta dùng các chữ cái A, B, C,…để kí hiệu các biến cố.

Biến cố không bao giờ xảy ra khi phép thử được thực hiện gọi là biến cố rỗng, kí hiệu là . Biến cố chắc chắn sẽ xảy ra khi một phép thử được thực hiện gọi là biến cố chắc chắn, kí hiệu là .

Ví dụ 1.1

Trong phép thử tung đồng tiền, ta kí hiệu:

+ S là biến cố xuất hiện mặt sấp, ta viết:

            S= “ Xuất hiện mặt sấp”.

+ N là biến cố xuất hiện mặt ngửa, ta viết:

            N= “ Xuất hiện mặt ngửa”.

Ví dụ 1.2

Trong phép thử gieo một con xúc xắc, ta kí hiêu:

+ Qk = “ Xuất hiện mặt k chấm”; với k=1; 2; 3; 4; 5; 6.

+ Qc = “ Xuất hiện mặt có số chấm chẵn”.

+ Ql = “ Xuất hiện mặt có số chấm lẻ”.

+ Qnt = “ Xuất hiện mặt có số chấm là số nguyên tố”.

Ví dụ 1.3

Trong phép thử kiểm tra một học sinh, ta kí hiệu:

+ T = “ Học sinh đó thuộc bài”.

+ K = “ Học sinh đó không thuộc bài”.

1.2. Quan hệ giữa các biến cố

Định nghĩa 1.1: Cho A và B là hai biến cố của cùng một phép thử.

Ta nói rằng:

a) Biến cố A thuận lợi ( hay kéo theo) đối với biến cố B, kí hiệu là AB, nếu trong phép thử đó biến cố A xuất hiện thì biến cố B cũng xuất hiện.

b) Biến cố A đồng nhất ( hay bằng) biến cố B, kí hiệu A=B, nếu đồng thời A thuận lợi đối với B và B cũng thuận lợi đối với A.

c) A và B là hai biến cố xung khắc nếu chúng không thể đồng thời xuất hiện trong một phép thử.

d) A là biến cố đối lập với biến cố B, kí hiệu là , nếu A xuất hiện khi và chỉ khi B không xuất hiện.

e) A và B là hai biến cố đồng khả năng nếu trong phép thử đó không có biến cố nào được ưu tiên xuất hiện hơn biến cố kia.

Ví dụ 1.4

Trong phép thử gieo xúc xắc

- Biến cố Q1, Q3, Q5 Ql.

- Biến cố Q2, Q4, Q6 Qc.

- Biến cố Q2, Q3, Q5  Qnt.

- Ql và Q5, Q2 và Q4,… là những cặp biến cố xung khắc.

Nếu ta kí hiệu:

Kc= “  Xuất hiện mặt có số chấm không chẵn”,

Kl= “ Xuất hiện mặt số chấm không lẻ”

thì Kc=Ql, Kl=Qc, Qc=và Ql=

Q1 và Q6; Qc và Qn t ; Qc và Ql là những cặp biến cố đồng khả năng.

Ví dụ 1.5

Trong phép thử tung đồng tiền S= và N=

Ví dụ 1.6

Rõ ràng là:

- Biến cố rỗng thuận lợi đối với mọi biến cố.

- Mọi biến cố đều thuận lợi đối với biến cố chắc chắn.

1.3. Các phép toán trên các biến cố:

Định nghĩa 1.2: Cho A và B là hai biến cố của một phép thử. Ta gọi:

a) Hợp của hai biến cố A và B là một biến cố H, kí hiệu H=AB, xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra .

Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì ta viết A+B thay cho AB và gọi là tổng trực tiếp ( hay tổng) của hai biến cố đó.

b) Giao ( hay tích) của hai biến cố A và B là biến cố G, kí hiệu là G=AB hay G=A.B, xảy ra  khi và chỉ khi đồng thời cả hai biến cố A và B cùng xảy ra .

c) Hiệu của hai biến cố A và B là biến cố M, ký hiệu M=A\B, xảy ra khi và chỉ khi biến cố A xảy ra và B không xảy ra.

Ví dụ 1.7

Trong phép thử gieo xúc xắc:

- Biến cố Ql=Q1+Q3+Q5, biến cố Qnt=Q2+Q3+Q5

- QcQnt=Q2; Ql  Qnt=Q3+Q5.

Trong mọi phép thử bất kì ta luôn có:

- A=,

- A và  xung khắc khi và chỉ khi .

Các phép toán trên biến cố vừa trình bày trên đây tương tự như các phép toán trên tập hợp nếu xem biến cố là 1 tập hợp. (Để dễ hiểu bạn đọc có thể minh hoạ các phép toán trên biến cố bằng biểu đồ Ven)

Định nghĩa 1.3: Biến cố A gọi là biến cố sơ cấp (hay cơ bản), nếu  thì A=B hoặc A=C.

Định nghĩa 1.4: Cho B1,B2,…,Bn là các biến cố của một phép thử. Ta nói rằng họ n biến cố trên thành lập hệ đầy đủ các biến cố của phép thử đó, nếu:

i). Chúng đôi một xung khắc với nhau, tức là ;

ii). .

Nếu các biến cố Bk ( k=1, 2, …, n) đều là các biến cố sơ cấp thì ta nói họ n biến cố đó gọi là không gian các biến cố sơ cấp.

Định nghĩa 1.5: Tập hợp tất cả các biến cố đôi một ( xung khắc) có thể xảy ra của một phép thử gọi là không gian mẫu. Ký hiệu: . Không gian các biến cố sơ cấp cũng là một không gian mẫu.

Ví dụ 1.8

Trong phép thử gieo xúc xắc

- Họ  tạo thành không gian các biến cố sơ cấp (không gian mẫu).

- Họ tạo thành hệ đầy đủ các biến cố.

Ví dụ 1.9:

- Trong phép thử tung đồng tiền họ  tạo thành không gian các biến cố sơ cấp; : cũng là không gian mẫu.

- Trong một phép thử bất kì, họ  tạo thành hệ đầy đủ các biến cố.