Chương 2. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT

Bài 2. Định nghĩa xác suất và tính chất

2.1. Định nghĩa xác suất theo dạng cổ điển:

Trong cuộc sống hàng ngày ta thường gặp các câu:

-  Khả năng xuất hiện mặt sấp hoặc mặt ngửa khi tung một đồng tiền là như nhau.

-  Khi gieo con xúc xắc, khả năng xuất hiện mặt lẻ nhiều hơn khả năng xuất hiện mặt “lục”.

-  Khả năng lấy được sản phẩm của phân xưởng thứ nhất nhiều hơn, v.v…

-  Trong mỗi câu nói trên chứa đựng một nội dung của xác suất thống kê. Để hiểu một cách khoa học những ý nghĩa đó, người ta cần xây dựng một mô hình toán học cho khái niệm xác suất.

Định nghĩa 2.1: ( định nghĩa xác suất cổ điển)

Cho  là hệ đầy đủ các biến cố đồng khả năng của một phép thử và A là biến cố trong phép thử đó. Giả sử trong hệ trên có k biến cố thuận lợi đối với A, tức là:

Ta gọi tỉ số  là xác suất của biến cố A.

Từ định nghĩa này ta nhận thấy rằng sự xảy ra của các biến cố dẫn đến xảy ra biến cố A. Ta gọi k là số khả năng thuận lợi cho A xảy ra. Còn n biến cố của hệ là số  khả năng có thể. Ta có thể viết lại định nghĩa 2.1 như sau:

Ví dụ 2.1

Trong phép thử tung đồng tiền, tìm xác suất để xuất hiện mặt sấp, xuất hiện mặt ngửa.

Giải:

Ta đã biết, hệ đầy đủ các biến cố đồng khả năng trong phép thử này là. Vậy  và .

Ví dụ 2.2

Trong phép thử tung hai đồng tiền, tìm xác suất để:

a) Cả hai đồng tiền đều xuất hiện mặt sấp.

b) Có ít nhất một đồng tiền xuất hiện mặt sấp.

Giải:

Ta đã biết  lập thành hệ đầy đủ các biến cố của phép thử. Biến cố cả hai đồng tiền xuất hiện mặt sấp là A=(S,S) ; biến cố có ít nhất một đồng tiền xuất hiện mặt sấp là B=(S,N)+(S,S)+(N,S). Vậy

a) Xác suất để cả hai đồng tiền xuất hiện mặt sấp là P(A)=.

b) Xác suất để ít nhất một đồng tiền xuất hiện mặt sấp là P(B)=3/4 = 0,75

Ví dụ 2.3

Trong phép thử gieo xúc xắc, tìm xác suất để xuất hiện mặt sáu chấm, xuất hiện mặt có số chấm lẻ.

Giải:

Ta đã biết  lập thành không gian các biến cố sơ cấp và .

Vậy

Tương tự ta cũng có

  với k = 1, 2, 3, 4, 5 và

Ví dụ 2.4

Đội đồng ca của khối 5 trường tiểu học Hoà Bình có 12 em là học sinh lớp 5A và 8 em là học sinh lớp 5B. Gặp ngẫu nhiên hai em trong đội. Tìm xác suất để:

a) Hai em là học sinh hai lớp khác nhau.

b) Cả hai em là học sinh lớp 5A.

Giải:

Ta kí hiệu A và B theo thứ tự là các biến cố ứng với các sự kiện xảy ra trong câu a và câu b trong đề bài. Ta nhận xét:

Mỗi cách gặp nhau trong số 20 em của đội cho ta một biến cố của phép thử. Vậy số biến cố của phép thử này là:

.

Mỗi cách ghép một trong số 12 em lớp 5A với một trong số 8 em lớp 5B cho ta một biến cố thuận lợi đối với A. Vậy số biến cố thuận lợi đối với A là:

Mỗi cách gặp hai trong số 12 em lớp 5A cho ta một biến cố thuận lợi đối với B. Vậy số biến cố thuận lợi đối với B là:

Từ đó suy ra:

2.2 Định nghĩa xác suất theo dạng thống kê

Trong định nghĩa cổ điển có nhiều hạn chế, là không giải quyết được trường hợp không gian biến cố sơ cấp có vô hạn biến cố sơ cấp và các biến cố sơ cấp không đồng khả năng. Vì vậy định nghĩa sau đây khắc phục nhược điểm này.

Ta lặp lại độc lập n lần một phép thử ngẫu nhiên , biến cố A xuất hiện m lần. Tỷ số m/n được gọi là tần suất xuất hiện biến cố A. Nếu số lần thực nghiệm n càng lớn thì tần suất càng gần tới một số cố định nào đó. Sau đây là bảng ghi lại kết quả thí nghiệm của các nhà toán học khi thực hiện phép thử gieo đồng tiền cân đối và đồng chất.

Ta thấy n càng lớn thì tần suất càng dần tới p=1/2.

Định nghĩa 2.2:  Nếu số phép thử n càng lớn,  tần suất m/n của biến cố A càng tiến về số cố định p thì ta nói A ổn định ngẫu nhiên và gọi p là xác suất của biến cố A.

2.3 Tính chất:

Từ định nghĩa ta dễ dàng suy ra các tính chất của xác suất như sau:

Tính chất 1: .

Tính chất 2:

Tính chất 3:

Tính chất 4:

Chứng minh: ( bạn đọc tự chứng minh ).

Ví dụ 2.5:

Trong một lô hàng có 30 sản phẩm của phân xưởng I và 20 sản phẩm của phân xưởng II. Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ lô hàng đó. Tìm xác suất để:

a) Bốn sản phẩm lấy ra không cùng một phân xưởng.

b) Trong bốn sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm của phân xưởng I.

 Giải:

Ta kí hiệu K và I theo thứ tự là các biến cố ứng với các sự kiện xảy ra trong câu a và câu b của đề bài,

S_i= “ Trong 4 sản phẩm có i sản phẩm của phân xưởng I” với i=1, 2, 3, 4.

Số biến cố của phép thử là .

a) Ta có:

  .

Suy ra:

.

b) Ta kí hiệu

H= “ Cả 4 sản phẩm lấy ra đều của phân xưởng II”.

Ta có