Chương 2. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT

Bài 3. Xác suất có điều kiện, sự độc lập các biến cố

3.1 Xác suất điều kiện:

Ví dụ 3.1: Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối đồng chất. Ký hiệu Alà biến cố ‘ tổng số chấm ở mặt trên con xúc xắc bằng 8’, B là: ‘tổng số chấm ở mặt trên con xúc xắc là số chẵn’. Tính xác suất của A, của B, của tích A.B.

Giải:

Số khả năng có thể n=6.6=36.

Số khả năng thuận lợi cho bc A là m= 5 (cặp 2-6, 3-5, 4-4, 5-3, 6-2) .

Theo định nghĩa cổ điển P(A)= 5/36.

Tương tự dễ tính xác suất P(B)= 18/36=1/2.

Ta thấy nếu B xảy ra có nghĩa là số cặp có thể xảy ra mà tổng của chúng chẵn là 18 cặp.

Nếu ký hiệu xác suất A với điều kiện B đã xảy ra là P(A/B) thì xác suất này bằng P(A/B) =5/18;

Hơn nữa biến cố tích A∩B có 5 cặp thuận lợi nên P(A∩B) = 5/36.

Từ đó tỷ sô ́  . Vậy 

Vì vậy ta đưa ra định nghĩa xác suất có điều kiện như sau

Định nghĩa 3.1: Ta gọi xác suất có điều kiện, ký hiệu P(A/B) của biến cố A trong điều kiện biến cố B đã xuất hiện là tỉ số:

      .

3.2 Công thức xác suất tích:

Đối với hai biến cố A và B bất kì (của cùng một phép thử) ta có:

            . (3.2)

Công thức (3.2) gọi là công thức xác suất tích.

Nhận xét 3.1

Công thức xác suất tích còn có thể viết ,

3.3 Công thức xác suất toàn phần, công thức Bayès:

Giả sử A₁, A₂,…, A_n là hệ đầy đủ các biến cố của một phép thử và B là một biến cố trong phép thử đó. Khi đó:

a)  P(B)=P(B/A­₁)P(A₁)+P(B/A₂)P(A₂)+…+P(B/A_n)P(A_n)            (3.3)

( được gọi là công thức xác suất toàn phần, hay đầy đủ).

b)                          (3.4)

( được gọi là công thức Bayès).

Ví dụ 3.2:       

Sinh viên năm thứ nhất của khoa giáo dục tiểu học chiếm 37%, năm thứ hai chiếm 33% và năm thứ ba chiếm 30% số sinh viên của toàn khoa. Tổng kết năm học, năm thứ nhất có 35%, năm thứ hai có 40% và năm thứ ba có 48% số sinh viên đạt tiên tiến.

a)  Gặp ngẫu nhiên một sinh viên của khoa đó, tìm xác suất để sinh viên đó là tiên tiến.

b)  Gặp ngẫu nhiên một sinh viên của khoa không đạt tiên tiến. Hỏi khả năng em đó là sinh viên học năm thứ mấy nhiều hơn?

Giải:

Ta kí hiệu:

S_k= “Gặp ngẫu nhiên một sinh viên, em đó đang học năm thứ k”, với k=1, 2, 3.

T= “Gặp ngẫu nhiên một sinh viên, em đó là sinh viên tiên tiến”.

Ta có:

P(S₁­)=0,37; P(S₂)=0,33; P(S₃)=0,30

P(T/S₁)=0,35; P(T/S₂)=0,40; P(T/S₃)=0,48.

a)      Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:

P(T) =P(T/S₁)P(S₁)+P(T/S₂)P(S₂)+P(T/S₃)P(S₃)

        =0,35.0,37+0,40.0,33+0,48.0,30

        =0,4055=40,55%.

Vậy tỉ lệ sinh viên tiên tiến của cả khoa đạt 40,55%.

b)  Áp dụng công thức Bayès ta có:

Vậy tỉ lệ sinh viên tiên tiến của năm thứ nhất chiếm 31,94%, năm thứ hai chiếm 32,55% và sinh viên năm thứ ba chiếm 35,51% tổng số sinh viên tiên tiến của cả khoa. Suy ra khả năng em đó là sinh viên năm thứ ba nhiều hơn.

3.4 Sự độc lập các biến cố:

Ta xét bài toán: “ Gieo một đồng tiền xu và một con xúc xắc. Tìm xác suất để xuất hiện mặt ngửa trên đồng tiền và mặt có số chấm là bội của 3 trên con xúc xắc”.

Mỗi biến cố trong phép thử này có dạng:

 = “Trên đồng tiền xuất hiện mặt ngửa và con xúc xắc xuất hiện mặt k chấm”, k=1, 2,…, 6 hoặc = “Trên đồng tiền xuất hiện mặt sấp và con xúc xắc xuất hiện mặt k chấm”, k=1, 2,…,6.

Số biến cố trong phép thử này là 12. Ta phải tìm xác suất của các biến cố:

: “Trên đồng tiền xuất hiện mặt ngửa và con xúc xắc xuất hiện mặt 3 chấm hoặc mặt 6 chấm”. Có hai biến cố  thuận lợi đối với . Vì vậy:

Trực giác cho ta thấy rằng việc xuất hiện mặt ngửa trên đồng tiền và mặt có số chấm là bội của ba trên con xúc xắc là hai biến cố xảy ra một cách đọc lập nhau.

Từ phân tích trên ta đi đến định nghĩa:

Định nghĩa 3.2

Với A và B là hai biến cố của phép thử. Ta nói rằng hai biến cố A và B là độc lập với nhau, nếu:

Ví dụ 3.3

Trên bàn có một túi đựng bài thi môn Toán và một túi đựng bài thi môn Tiếng Việt. Môn Toán có 70% số bài đạt điểm giỏi, môn Tiếng Việt có 85% số bài đạt điểm giỏi. Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi một bài thi, tìm xác suất để hai bài đều đạt điểm giỏi.

Giải:

Ta kí hiệu:

T_G= “Rút ngẫu nhiên ta được bài thi môn Toán đạt điểm giỏi”.

V_G= “Rút ngẫu nhiên ta được bài thi môn Tiếng Việt đạt điểm giỏi”.

Rõ ràng là hai biến cố trên độc lập với nhau. Vậy ta có:

Chú ý 3.1 : Từ định nghĩa ta có thể suy ra rằng nếu A và B là hai biến cố độc lập thì các cặp biến cố  cùng độc lập .

Nhận xét 3.2:  

Về mặt định tính có thể nói rằng hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra ( hay không xảy ra ) của biến cố  A không ảnh hưởng đến sự xảy ra (hay không ) biến cố B.

Ví dụ 3.4

Hai xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất trúng đíc của người bắn thứ nhất bằng 0,75 và của người thứ hai bằng 0,85. Tìm xác suất để có ít nhất một người bắn trúng đích.

Giải:

Ta kí hiệu:

T_k= “Người thứ k bắn trúng đích”, k=1, 2.

Ít nhất một người bắn trúng đích là biến cố

Theo tính chất của xác suất ta có:

                         =0,75+ 0,85- 0,75.0,85

                         =0,9625 0,96

Nhận xét 3.3:

Từ công thức xác suất tích , biến cố A và B được gọi là độc lập khi và chỉ khi  hoặc P(A/B)=P(A) hoặc P(B/A)=P(B).