Chương 2. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT

Bài 4. Xác suất nhị thức

4.1 Dãy phép thử Bernoulli:

Định nghĩa 4.1. Dãy n phép thử J₁, J₂,…,J_n được gọi là độc lập với nhau nếu các điều kiện sau đây được thoả mãn:

(i) Mỗi phép thử J_k tương ứng với không gian các biến cố sơ cấp ;

(ii) Xác suất

trong đó

Định nghĩa 4.2. Ta gọidãy phép thử J₁, J₂,…,J_n là dãy phép thử Bécnuli, nếu các điều kiện sau đây được thoả mãn:

(i)   J₁, J₂,…,J_n là dãy phép thử độc lập;

(ii)  Trong mỗi phép thử J_k chỉ có hai biến cố B hoặc  có thể xảy ra;

(iii) Xác suất để biến cố B xuất hiện trong mỗi phép thử không đổi và đều bằng p.

Ví dụ 4.1:  Khi gieo n lần một đồng tiền cân đối và đông chất, ta có n dãy phép thử Bécnuli. ( SV tự kiểm chứng 3 điều kiện nêu trong định nghĩa 4.2)

4.2 Công thức xác suất nhị thức:

Giả sử biến cố B trong phép thử J xuất hiện với xác suất P(B)=p. Khi lặp lại n lần phép thử đó một cách độc lập, xác suất để trong n lần đó có k lần xuất hiện biến cố B được xác định bởi công thức:

, với k = 0, 1, 2, 3,..., n                  (4.1)

Công thức trên gọi là công thức xác suất nhị thức, ta quy ước gọn là công thức Bécnuli (Bernoulli).

Ví dụ 4.2

Gieo 8 lần con xúc xắc. Tìm xác suất để trong 8 lần gieo đó có 5 lần xuất hiện mặt 6 chấm.

Giải:

Ở đây n=8, k=5. Áp dụng công thức Bécnuli ta có:

Ví dụ 4.3:

Tỉ lệ nảy mầm của một loại hạt giống đạt 95%. Tìm xác suất để khi gieo ngẫu nhiên 10 hạt giống loại đó có 7 hạt nảy mầm.

Giải:

Ta kí hiệu M= “Gieo ngẫu nhiên một hạt giống thì hạt đó nảy mầm”.

Vậy P(M)=0,95.

Áp dụng công thức Bernoulli ta có:

4.3 Số có khả năng nhất:

Từ công thức xác suất nhị thức, đặt . Người ta gọi các số k₀; k₁  sau là số có khả năng nhất, là số k lần xuất hiện biến cố B ứng với xác suất nhị thức cực đại.

+ Nếu np-q nguyên thì có 2 giá trị  k₀ =np-q và k₁ = np-q+1 để xác suất P_n(k) đạt cực đại ;

+ Nếu np-q không nguyên thì có 1 giá trị  k₀  = [np-q]+1 để xác suất P_n(k) đạt cực đại; trong đó ký hiệu [x] là hàm phần nguyên của số x .

Ví dụ 4.4:  Trở lại ví dụ 4.3 . Hãy tìm số hạt nảy mầm với khả năng lớn nhất- Tính xác suất cực đại tương ứng.

Ta có np-q = 10.0,95-0,05=  8,45 . Vậy có 1 số có khả năng nhất là k₀ = [8,45]+1=9.

Suy ra số hạt nảy mầm với khả năng cao nhất là 9 hạt, xác suất cực đại bằng

P₁₀(9) .