Chương 3. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN PHỐI

Hướng dẫn giải bài tập

Bài 1.

a. 

Tính xác suất P[-1X<1]=F(1)-F(-1) = 5/6-1/6= 3/2.

b.  

Tính DX= E(X²)- (EX)² ; Do

nên DX= 4/3 -0² = 4/3.

Bài 2. Coi việc gặp 6 giáo viên là thực hiện dãy 6 phép thử Bernoulli với xác suất gặp nam giới là p= 0,15. Theo CT XS  nhị thức ta có:

a. n=6, p=0,15, k=2 . XS cần tính P[X=2] =

b. Phân phối xác suất là

Hàm phân phối :.

c. Kỳ vọng toán  EX = np = 6. 0,15 = 0,9;

Phương sai DX = npq = 6. 0,15. 0,85 = 0,765

Bài 3. Coi  10 lần gieo đồng tiền là thực hiện hiện 10 phép thử Bernoulli với xác suất mặt 3 chấm xuất hiện p= 1/6.

Theo CT XS  nhị thức ta có phân phối xác suất của X:

Kỳ vọng : EX =np = 5/3

Phương sai: DX=npq = 25/18

Bài 4.

a. X có thể nhận các giá trị X= 1,2,3,..,k,…

   X có phân phối hình học với p=0,4, q=0,6.

Vậy phân phối xác suất  của  X xác định bởi  :

            P[X=k]= q^k-1.p= (0,6)^k-1.0,4 , với k=1,2,3,…

b. Ta có EX= 1/p = 2,5

            DX= q/p² = 3,75 . ( kết quả ví dụ 3.6)

Bài 5.

X có thể nhận giá trị 0, 1, 2, 3.  X có    phân phối xác suất siêu bội.

Phân phối xác suất của X:

Kỳ vọng :

Bài 6.

Gọi X₁ là số viên cần bắn để lần đầu tiên trúng đích. E(X₁) = 1/p;

X₂ là số viên cần bắn để lần đầu tiên trúng đích sau viên mà lần thứ nhất trúng đích ,  E(X₂) = 1/p;  .., Xk là số viên cần bắn để lần đầu tiên trúng đích sau  k-1 trúng đích , E(X_k) = 1/p.

X=X₁ + X₂ + …+ X_k ;  E(X)= E(X₁) + E (X₂)+..+ E(X_k) = k/p.

Bài 7.

Xem như tiến hành dãy gồm 2 phép thử Bernoulli với p=P(A).

Ta có  EX= np =2p = 1,2. Suy ra p=0,6, q =1-p =0,4.

DX= np(1-p) = 2. 0,4. 0,6 = 0,48.

Bài 8.

a. Ta có P[X=k]=q^k-1p= (0,8)^k-1.(0,2) , với k =1,2,...  ( XS hình học)

b. Hàm phân phối

Bài 9.

a. . Suy ra a=.

b. F(x) =

c.E(X) = ; DX= E(X²)- (EX)² = 2-0² =2.

 (chú ý E(X²)=).

Bài 10.

a. Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X là:

b. Kỳ vọng 

Từ kỳ vọng của X²:

ta có phương sai: DX = E(X²) - (EX)² = -2² = 1,3333.

c. P[-1X<2] = F(2) – F(-1) = 2/4 -0 = ½.

Bài 11.

a.

b. Kỳ vọng , Phương sai: