Chương 3. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN PHỐI

Tóm tắt chương

Chương 3 được cấu trúc thành 3 bài, bao gồm các kiến thức về biến ngẫu nhiên X, hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X (rời rạc hay liên tục),  phân phối xác suất (chủ yếu là của biến ngẫu nhiên rời rạc), kỳ vọng toán, phương sai và một số phân phối quan trọng. Do khuôn khổ của chương trình (qui định bởi đề cương chi tiết học phần) nên ở đây chỉ đề cập đến một số kiến thức hết sức cơ bản. Sau đây là tóm tắt các kiến thức để các  bạn SV dễ ôn tập.

Bài 1. Các khái niệm và tính chất của hàm phân phối

1.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên:

Biến ngẫu nhiên là một đại lượng mà giá trị của nó là số thực phụ thuộc vào kết quả của phép thử.

Người ta thường kí hiệu các biến ngẫu nhiên bằng các chữ cái X, Y, Z,…Biến ngẫu nhiên có thể nhận giá trị này hay giá trị kia tuỳ thuộc vào kết quả này hay kết quả kia của phép thử xuất hiện. Từ định nghĩa ta thấy thực chất biến ngẫu nhiên là một ánh xạ từ không gian mẫu của phép thử vào tập số thực.

Đinh nghĩa 1.1  Hàm X xác định trên không gian biến cố sơ cấp Ω và nhận giá trị trong tập R được gọi là biến ngẫu nhiên, ký hiệu X nếu với x R tập hợp   là biến cố ngẫu nhiên.

Định nghĩa 1.2

Biến ngẫu nhiên rời rạc: Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên chỉ nhận một số hữu hạn hay vô hạn đếm được các giá trị. Trong ví dụ 1.1, 1.2 X là biến ngẫu nhiên rời rạc;

Biến ngẫu nhiên liên tục:Biến ngẫu nhiên liên tục là biến ngẫu nhiên nhận vô hạn các giá trị trong khoảng (a,b) nào đó, a, b có thể vô hạn.

1.2. Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên.

Định nghĩa 1.3: Gọi hàm P[], xlà hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X và ký hiệu là:

F(x)= P[], x.

1.3. Các tính chất của hàm phân phối:

Tính chất 1.1: Hàm phân phối F(x) là đơn điệu tăng,

Tức là với x1<x2 thì F(x1)F(x2) .

Thật vậy, vì x1<x2 nên

Xét  xác suất:

Hệ quả 1.1:   P[aX<b]= F(b)-F(a)                                              (1.1)

Tính chất 1.2 Hàm F (x) liên tục trái, tức là:

Tính chất 1.3

Chú ý 1.1:  Người ta chứng minh một hàm bất kỳ F(x) có ba tính chất trên thì tồn tại biến ngẫu nhiên mà hàm phân phối của nó trùng với hàm F(x).

1.4. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

a. Phân phối rời rạc:

Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị x₁, x₂ , x₃ , …, x_n , ….với xác suất tương ứng p1, p2, p3, ….. sao cho . Ta gọi bảng sau đây là phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc:

(1.2)

Nếu bảng trên các giá trị xi được sắp xếp tăng dần thì hàm phân phối của ngẫu nhiên X là:

                                                                                                  (1.3)

b. Phân phối liên tục tuyệt đối:

Định nghĩa 1.4  Biến ngẫu nhiên X có phân phối liên tục tuyệt đối nếu hàm phân phối có dạng:

                                                                   (1.4)

Hàm dưới dấu tích phân f(x) được gọi là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X. Theo tính chất của tích phân thì

                         f(x) = F’(x), với x là điểm mà f liên tục.                  (1.5)

Nhận xét: Từ tính chất của hàm phân phối suy ra tính chất của hàm mật độ f(x):

·         f(x) 0;                                                                             (1.6)

·        ;                                                                        (1.7)

·                                                                    (1.8)    

Bài 2. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

2.1. Kỳ vọng toán.

Định nghĩa 2.1

a. Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối xác suất:

, với .

Nếu  thì gọi tổng  là kỳ vọng toán của X, ký hiệu là :

E(X) =.

b. Trường hợp X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x), nếu  thì gọi tích phân E(X)= là kỳ vọng của X .

Tính chất của kỳ vọng:

Tính chất 2.1  E (C) = C,  với C là hằng số

Tính chất 2.2  Nếu X, Y có kỳ vọng  thì XY cũng có kỳ vọng và 

E(XY ) = E(X)  E(Y).

Tính chất 2.3  Nếu X, Y độc lập và có kỳ vọng E (X), E (Y) thì có

E(X.Y) =      E (X). E (Y).

Tính chất 1.4  Nếu biến có kỳ vọng thì E(Y)=.

Ý nghĩa của kỳ vọng: E(X) là trung bình có trọng lượng, cách tính khác với trung bình cộng thông thường. Nếu ta tiến hành đo một cách độc lập n lần đại lượng X với kết quả là X₁, X₂ ,…, X_n  với một số giả thiết nhất định thì  xấp xỉ với kỳ vọng E(X) khi n khá lớn.

2.2. Phương sai:

Định nghĩa 2.2  Phương sai của biến ngẫu nhiên X là đại lượng  và ký hiệu DX=.

Tính chất của phương sai

Tính chất 2.5    DC = 0, C hằng số;

Tính chất 2.6    DX = E (X² ) – (E (X))²

Tính chất 2.7     Nếu  X, Y độc lập và có phương sai thì D(X+Y) =  DX +DY.

Tính chất 2.8     D(CX)  = C² DX,  C là hằng số.

Ý nghĩa của phương sai:

Phương sai DX đo mức độ phân tán (mức độ tản mát) của các giá trị của biến ngẫu nhiên X xung quanh tâm (EX) của nó. DX càng nhỏ thì mức độ tản mát nhỏ, độ tập trung xung quanh tâm lớn.

Về mặt toán học DX cho biết độ lệch bình phương trung bình của X so với kỳ vọng EX (biểu thức DX ở định nghĩa minh họa rõ điều này).

Bài 3. Một số phân phối quan trọng

3.1. Phân phối nhị thức

Đinh nghĩa 3.1 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức với tham số (n,p) nếu phân phối xác suất của nó có dạng :

                          (3.1)

Hàm phân phối của X là :  .           

3.2. Phân phối siêu bội

Định nghĩa 3.2:  Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối siêu bội với tham số N, M, n, nếu phân phối xác suất dạng:

  q(k,N,M,n)=

Định lý 3.1

Nếu n cố định , tăng N lên vô hạn và tỉ số M/N tiến tới p , 0<p<1, thì phân phối siêu bội với tham số (N,M,n) tiến tới phân phối nhị thức với tham số (n,p), nghĩa là:

              q(k,N,M,n) →P_n (k) =.

3.3. Phân phối hình học

Định nghĩa 3.3  Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối hình học nếu phân phối xác suất có dạng  (3.3), tức là:

3.4. Phân phối chuẩn:

Sau đây là một phân phối cuả biến ngẫu nhiên liên tục.

Định nghĩa 3.4  Biến ngẫu nhiên X  được gọi là có phân phối chuẩn ( dạng tổng quát), ký hiệu ,  nếu hàm mật độ có dạng:

Trường hợp đặc biệt  a=0,  thì hàm mật  độ có dạng :

            ,

Hàm phân phối tương ứng với N(0,1) là :.

Định lý 3.2  Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn dạng  thì :

i) có phân phối chuẩn N(0,1)

ii) .