Chương 3. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN PHỐI

Bài 1. Các khái niệm và tính chất của hàm phân phối

1.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên:

Biến ngẫu nhiên là một đại lượng mà giá trị của nó là số thực phụ thuộc vào kết quả của phép thử.

Người ta thường kí hiệu các biến ngẫu nhiên bằng các chữ cái X, Y, Z,…Biến ngẫu nhiên có thể nhận giá trị này hay giá trị kia tuỳ thuộc vào kết quả này hay kết quả kia của phép thử xuất hiện. Từ định nghĩa ta thấy thực chất biến ngẫu nhiên là một ánh xạ từ không gian mẫu của phép thử vào tập số thực.

Ví dụ 1.1: Gieo một đồng tiền hai lần. Kí hiệu X là số lần xuất hiện mặt “sấp”. Nghiên cứu các tính chất của X.

Kiểm tra lại rằng  là không gian mẫu của phép thử.

Xét xem X có thể nhận những giá trị nào, mỗi giá trị tương ứng với biến cố nào?.Sau đây là câu trả lời:

(SV) Hãy vẽ các mũi tên để chứng tỏ X là một ánh xạ từ ?

Dễ dàng thấy rằng:

+ X có tính ngẫu nhiên.

+ X có giá trị phụ thuộc vào kết quả của phép thử.

+ X là một ánh xạ từ  vào R.

+ Biến cố “X nhận giá trị 1”, kí hiệu (X=1), là tập hợp , ứng với xác suất P[X=1]=2/4=0,5.

Qua ví dụ trên ta thấy đại lượng X liên quan với phép thử ngẫu nhiên mà ứng với mỗi kết quả của phép thử là 1 số thực (với một xác suất nào đấy), số thực đó là giá trị của X. Đại lượng X như thế gọi là biến ngẫu nhiên .

Định nghĩa 1.1  Hàm X xác định trên không gian biến cố sơ cấp Ω và nhận giá trị trong tập R được gọi là biến ngẫu nhiên, ký hiệu X nếu với x R tập hợp   là biến cố ngẫu nhiên.

Ví dụ 1.2

- X là số con trai trong một lần sinh. X là biến ngẫu nhiên , có thể nhận hai giá trị là 0 và 1 .

- X là số viên đạn trúng đích trong khi bắn 10 viên đạn độc lập vào một mục tiêu . X có thể nhận các giá trị : 0,1,2,…,10.

- X là số sản phẩm tốt trong 6 sản phẩm lấy ngẫu nhiên từ kiện hàng có 20 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu. X là biến ngẫu nhiên, nhận các giá trị: 0,1,2,3,4,5,6. 

Có  hai loại biến ngẫu nhiên mà ta quan tâm ở đây.

Định nghĩa 1.2

Biến ngẫu nhiên rời rạc: Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên chỉ nhận một số hữu hạn hay vô hạn đếm được các giá trị. Trong ví dụ 1.1, 1.2 X là biến ngẫu nhiên rời rạc;

Biến ngẫu nhiên liên tục:Biến ngẫu nhiên liên tục là biến ngẫu nhiên nhận vô hạn các giá trị trong khoảng (a,b) nào đó, a, b có thể vô hạn.

1.2. Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên.

Từ ví dụ 1.1 ta có nhận xét: Biến cố thay đổi khi x tăng từ - đến +. Do đó xác suất  của biến cố cũng thay đổi theo x. Điều đó xác suất của biến cố này phụ thuộc vào x.

Định nghĩa 1.3: Gọi hàm P[], x là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X và ký hiệu là:

F(x)= P[], x.

Ví dụ 1.3:

Tìm hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X chỉ số lần xuất hiện mặt sấp khi gieo hai lần 1 đồng tiền cân đối và đồng chất.

- Ta có:

- Viết hàm phân phối F(x) xác suất của X:

1.3. Các tính chất của hàm phân phối:

Tính chất 1.1:   Hàm phân phối F(x) là đơn điệu tăng,

Tức là với x1<x2 thì F(x1)F(x2) .

Thật vậy, vì x1<x2 nên

Xét  xác suất:

Hệ quả 1.1:  P[aX<b]= F(b)-F(a)                                              (1.1)

Tính chất 1.2 Hàm F (x) liên tục trái, tức là:

Tính chất 1.3

Chú ý 1.1:  Người ta chứng minh một hàm bất kỳ F(x) có ba tính chất trên thì tồn tại biến ngẫu nhiên mà hàm phân phối của nó trùng với hàm F(x).

Ví dụ 1.4: Trở về ví vụ 1.3 ,  do

nên xác suất P[-1X<1]=  F(1) – F(-1) = ¼ - 0 = ¼ .

Ví dụ 1.5 Giả sử biến ngãu nhiên X có hàm phân phối xác suất là:

Tìm xác suất P[-1X<1/2]

Giải :  Áp dụng CT (1.1) ta có  P[-1X<1/2] = F(1/2) – F(-1) = ½ - 0 = ½ .

1.4. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

a. Phân phối rời rạc:

Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị x₁, x₂ , x₃ , …, x_n , ….với xác suất tương ứng p1, p2, p3, ….. sao cho . Ta gọi bảng sau đây là phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc:

(1.2)

Nếu bảng trên các giá trị x_i được sắp xếp tăng dần thì hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X là:

                                  (1.3)

Ví dụ 1.6  Cho phân phối xác suất của X là:

Hãy viết hàm phân phối F(x) .

            Giải:

- Áp dụng  CT (1.3) ta có hàm phân phối

Ví dụ 1.7  Một bà mẹ sinh 2 con , mỗi lần sinh một con. Giả sử xác suất sinh con trai bằng 0,5. Gọi X là số lần sinh con trai trong 2 con đó. Tìm phân phối xác suất của X. Viết hàm phân phối của X.

Giải:

Xem việc sinh 2 con là thực hiện dãy 2 phép thử Bernoulli với xác suất biến cố sinh con trai p= 0,5. Theo CT xác suất nhị thức với n=2, ta có:

Bảng phân phối xác suất của X:

Ta có hàm phân phối  của X:

b. Phân phối liên tục tuyệt đối:

Định nghĩa 1.4  Biến ngẫu nhiên X có phân phối liên tục tuyệt đối nếu hàm phân phối có dạng:

                                                                    (1.4)

Hàm dưới dấu tích phân f(x) được gọi là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X. Theo tính chất của tích phân thì

                         f(x) = F’(x), với x là điểm mà f liên tục.                  (1.5)

            Nhận xét: Từ tính chất của hàm phân phối suy ra tính chất của hàm mật độ f(x):

·         f(x) 0;                                                                              (1.6)

·        ;                                                                         (1.7)

·                                                                     (1.8)

(SV tự tham khảo chứng minh ở [3], trang 89-90)

Ví dụ 1.8  Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X là  f(x) = .

a. Tìm a và tính hàm phân phối.  

b. Tính xác suất

            Giải:

a. Theo CT (1.7)

Vậy .

Từ đó hàm phân phối

b. Xác suất =F(1) – F(-1) . Tính ra kết quả là 1/2.

Ví dụ 1.9  Cho hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X là

Tìm hàm mật độ.

Giải:  Ta có theo C.T (1.5) : f(x)  =  F’(x) =