Chương 3. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN PHỐI

Bài 2. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

2.1. Kỳ vọng toán.

Định nghĩa 2.1

a. Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối xác suất:

, với .

Nếu  thì gọi tổng  là kỳ vọng toán của X, ký hiệu là :

E(X) =.

b. Trường hợp X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x), nếu  thì gọi tích phân E(X)= là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục X .

Ví dụ 2.1:  Cho phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X  là :

Tính kỳ vọng của X.

Giải.

Ví dụ 2.2  Bắn ba viên đạn độc lập vào một  mục tiêu. Xác suất trúng đích cảu mỗi viên đạn là 0,5. Gọi X là số viên đạn trúng đích trong 3 viên. Tính kỳ vọng.

Giải:

Giá trị của biến ngẫu nhiên X có thể là: 0, 1, 2, 3.

Coi việc bắn ba viên đạn độc lập như thực hiện 3 phép thử Bernoulli với xác suất p = ½. Ta có:

Do vậy bảng phân phối xác suất :

Do vậy

Tính chất của kỳ vọng:

Tính chất 2.1  E (C) = C,  với C là hằng số

Tính chất 2.2  Nếu X, Y có kỳ vọng  thì XY cũng có kỳ vọng và  E(XY ) = E(X)  E(Y).

Tính chất 2.3  Nếu X, Y độc lập và có kỳ vọng E (X), E (Y) thì có E(X.Y) =      E (X). E (Y).

Tính chất 1.4  Nếu biến có kỳ vọng thì E(Y)=.

Ví dụ 2.3 Giả sử biến ngẫu  nhiên X có phân phối xác suất là

Tính E(2X+1), E (X³ ) .

Giải: E(2X+1) = 2 E(X) +1;

        E(X) = 0. ½  +1. ½  = 1/2 .

Vậy  E(2X+1) = 2.

        E(X³ ) = 0³. ½ +1³.1/2  = ½ 

Ý nghĩa của kỳ vọng: E(X) là trung bình có trọng lượng, cách tính khác với trung bình cộng thông thường. Nếu ta tiến hành đo một cách độc lập n lần đại lượng X với kết quả là X₁, X₂ ,…, X_n  với một số giả thiết nhất định thì  xấp xỉ với kỳ vọng E(X) khi n khá lớn.

 Trung bình sẽ tốt nếu các số trị số đang xét có cùng khả năng, nhưng trường hợp các trị số nhận được không đồng khả năng thì trung bình có trọng lượng ( kỳ vọng) phản ánh bản chất tốt hơn nhiều . Khi các khả năng p_i bằng nhau ta lại có EX bằng trung bình cộng. Để minh họa điều này, xét ví dụ sau:

Ví dụ 2.4  Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối là

Kỳ vọng EX= ¾. Giá tị trung bình có trọng lượng.= ¾ , trong khi giá trị trung bình cộng bằng (0+1)/2= ½.

2.2. Phương sai:

Định nghĩa 2.2  Phương sai của biến ngẫu nhiên X là đại lượng  và ký hiệu DX=.

Trở lại ví dụ 2.4. Tìm phương sai của X.

Giải:

            E(X)  = ¾

Ta có bảng:

Phương sai của X là

Tính chất của phương sai

Tính chất 2.5    DC = 0, C hằng số;

Tính chất 2.6    DX = E (X² ) – (E (X))²

Tính chất 2.7    Nếu  X, Y độc lập và có phương sai thì D(X+Y) =  DX +DY.

Tính chất 2.8    D(CX)  = C² DX,  C là hằng số.

Ví dụ 2.5  trở về ví dụ 2.3. Tính DX và D(2X+3)

Giải: Ta có EX=1/2

E(X²) =

Áp dụng t/c 2.6 ta có DX= EX² – (EX)²  = ½ - (1/2)² = ¼.

D(2X+3) = 2² DX = 4. ¼ = 1. ( Tc 2.8)

Chú ý :

Có thể áp dụng định nghĩa phương sai  để tính phương sai DX. (SV tự tính).

Ý nghĩa của phương sai: Phương sai DX đo mức độ phân tán (mức độ tản mát) của các giá trị của biến ngẫu nhiên X xung quanh tâm (EX) của nó. DX càng nhỏ thì mức độ tản mát nhỏ, độ tập trung xung quanh tâm lớn.

Về mặt toán học DX cho biết độ lệch bình phương trung bình của X so với kỳ vọng EX (biểu thức DX ở định nghĩa minh họa rõ điều này).

* Vì thời lượng có hạn nên một số kiến thức : các số đặc trưng như mod, trung vị, hệ số biến thiên,  Phương sai và kỳ vọng toán đối với biến ngẫu nhiên liên tục không được trình bày cụ thể ở đây. Bạn đọc có  thể tìm hiểu ở [3].