Chương 3. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN PHỐI

Bài 3. Một số phân phối quan trọng

3.1. Phân phối nhị thức

Đinh nghĩa 3.1 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức với tham số (n,p) nếu phân phối xác suất của nó có dạng :

                          (3.1)

Hàm phân phối của X là :  .

Ví dụ 3.1 Bắn 5 viên đạn độc lập với nhau vào một mục tiêu ( trong cùng một điều kiện như nhau). Xác suất trúng đích các lần bắn là như nhau và bằng 0,2. Gọi X là số viên đạn trúng mục tiêu.

a. Tìm phân phối xác suất của X.

b. Muốn hỏng bia thì phải có ít nhất ba viên bắn trúng đích. Tìm xác suất để bia hỏng .

Giải:

Bắn 5 viên độc lập là thực hiện dãy phép thử Bernoulli với n=5, xác suất trúng đích  p= 0,2.

a. Từ công thức xác suất nhị thức ta có phân phối xác suất như sau:

b. Biến cố “bia bị hỏng” là [k3]. Vậy xác suất bị hỏng là :

P[k3]= P[k=3]+P[k=4]+P[k=5]

Tính ra được xác suất bia bị hỏng là P[k3] =0,0579.

Ví dụ 3.2 Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối nhi thức với tham số (n,p). Tính kỳ vọng và phương sai của X.

Giải:

Đặt r=k-1 ta có:

Tương tự tính

Áp dụng DX=E(X²)-(EX)² , tính được DX= npq.         

3.2. Phân phối siêu bội

Ví dụ 3.3 Một lô sản phẩm có N sản phẩm trong đó có M sản phẩm tốt, số sản phẩm còn lại N-M là phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên một lần n sản phẩm. Tìm xác suất để có đúng k sản phẩm tốt trong n sản phẩm đã lấy ra.

Giải: Gọi X là số sản phẩm tốt lấy ra được.

Ta có :              (3.2)

Ta ký hiệu xác suất dạng (3.2) này là q(k,N,M,n).

Định nghĩa 3.2  Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối siêu bội với tham số N, M, n, nếu phân phối xác suất dạng:

  q(k,N,M,n)=

Định lý 3.1

Nếu n cố định , tăng N lên vô hạn và tỉ số M/N tiến tới p , 0<p<1, thì phân phối siêu bội với tham số (N,M,n) tiến tới phân phối nhị thức với tham số (n,p), nghĩa là:

              q(k,N,M,n) →P_n (k) =.

3.3. Phân phối hình học

Ví dụ 3.4  Xét dãy phép thử độc lập G1, G2,…., Gn,….trong đó mỗi phép thử chỉ có hai biến cố A và  có thể xảy ra. Xác suất để A xuất hiện trong mỗi phép thử đều bằng p. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số phép thử cần thiết thực hiện để lần đầu xuất hiện biến cố A. Tìm phân phối xác suất của X.

Giải:

X nhận các giá trị: 1,2,3,..,n,…

Xác suất để X nhận giá trị k là  P[X=k]= (1-p)^k-1.p,    k=1,2,3,….      (3.3)

Định nghĩa 3.3  Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối hình học nếu phân phối xác suất có dạng  (3.3), tức là:

Ví dụ 3.5  Tiến hành bắn không hạn định vào một bia. Xác suất để mỗi viên đạn trúng đích là p=0,2. Bắn cho tới khi nào trúng bia thì dừng. Gọi X là viên đạn cần bắn để lần đầu tiên trúng bia. Tìm phân phối xác suất  của X và hàm phân phối của nó.

Giải:

X có phân phối hình học,  p=0,2.

Vậy phân phối xác suất của X là:

Hàm phân phối

Ví dụ 3.6 Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối hình học. Tính kỳ vọng và phương sai của X.

Giải: Phân phối xác suất hình học:

Áp dụng định nghĩa phương sai: DX=E(X²)-(EX)²

Tương tự tính được  ([3], tr133)

Từ đó

3.4. Phân phối chuẩn:

Sau đây là một phân phối cuả biến ngẫu nhiên liên tục.

Định nghĩa 3.4  Biến ngẫu nhiên X  được gọi là có phân phối chuẩn ( dạng tổng quát), ký hiệu ,  nếu hàm mật độ có dạng:

Trường hợp đặc biệt  a=0,  thì hàm mật  độ có dạng :

            ,

Hàm phân phối tương ứng với N(0,1) là :.

Định lý 3.2  Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn dạng  thì :

i) có phân phối chuẩn N(0,1)

ii) .

Chứng minh ( SV xem [3], tr 105).

Ví dụ 3.7 Giả sử độ cao X của trẻ em tuân theo luật phân phối chuẩn dạng N(0,3; 0,01). Tính xác suất để trẻ em có độ cao nằm trong khoảng (1,2; 1,4).

Giải:

Ta có =F(1)-F(-1)

= 2F(1)-1=0,6826.

(Chú ý: từ F(x) có F(-a)=1-F(a);  tra bảng phân phối chuẩn N(0,1) (Bảng 2 - Phụ lục) ta có F(1)=0,8413)